Question

（2014?桂林）如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（-2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1

（2014?桂林）如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（-2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1．（1）直接写出抛物线的解析式：______；（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵A（-2，0），对称轴为直线x=1．
∴B（4，0），
把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线的表达式为：

4a?2b+4＝0 16a+4b+4＝0

，
解得：

a＝? 1 2 b＝1

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）由抛物线y=-

1

2

x²+x+4可知C（0，4），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性，
∴C′（2，4），
∴A′（0，0）．

（3）存在．
设F（x，-

1

2

x²+x+4）．
以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
①若AC为平行四边形的边，如答图1-1所示，则EF∥AC且EF=AC．

过点F₁作F₁D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E₁DF₁，
∴DE₁=2，DF₁=4．
∴-

1

2

x²+x+4=-4，
解得：x₁=1+

17

，x₂=1-

17

．
∴F₁（1+

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