Question

已知函数f（x）= x-a lnx ，其中a为实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处

已知函数f（x）= x-a lnx ，其中a为实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）是否存在实数a，使得对任意x∈（0，1）∪（1，+∝），f（x）＞ x 恒成立？若不存在，请说明理由，若在，求出a的值并加以证明．

Answer 1

（1）a=2时，f（x）= x-2 lnx ， f′（x）= xlnx-x+2 x ln 2 x ，f′（2）= 1 ln2 ，（2分） 又f（2）=0 所以切线方程为y= 1 ln2 （x-2）（2分） （2）1°当0＜x＜1时，lnx＜0，则 x-a lnx ＞ x ?a＞x- x lnx 令g（x）=x- x lnx，g′（x）= 2 x -2-lnx 2 x ， 再令h（x）=2 x -2lnx，h′（x）= 1 x - 1 x = x -1 x ＜0 当0＜x＜1时h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上递减， ∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0， ∴g′（x）= h(x) 2 x ＞0， 所以g（x）在（0，1）上递增，g（x）＜g（1）=1， 所以a≥1（5分） 2°x＞1时，lnx＞0，则 x-a lnx ＞ x ?a＜x- x lnx?＜g（x） 由1°知当x＞1时h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上递增 当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，g′（x））= h(x) 2 x ＞0 所以g（x）在（1，+∞）上递增，∴g（x）＞g（1）=1 ∴a≤1；（5分） 由1°及2°得：a=1．（1分）