Question

如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的离心率为32，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆

如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的离心率为32，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）若S△PMN=32，求直线AB的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意：

c2

a2

＝

3

4

，∴c2＝

3

4

a2，∴b2＝a2?c2＝a2?

3

4

a2＝

1

4

a2①．
又∵P（2，1）在椭圆上，所以

4

a2

+

1

b2

＝1②．
联立①②得：a²=8，b²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

2

＝1；
（Ⅱ）设直线PA的方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程得：x²+4[k（x-2）+1]²=8，
整理得：（1+4k²）x²-8（2k-1）x+16k²-16k-4=0．
∵方程一根为2，由根与系数关系得2xA＝

16k2?16k?4

1+4k2

，∴xA＝

8k2?8k?2

1+4k2

．
则yA＝1+k(

8k2?8k?2

1+4k2

?2)＝

?4k2?4k+1

1+4k2

．
∴A(

8k2?8k?2

1+4k2

，

?4k2?4k+1

1+4k2

)．
∵PA与PB倾斜角互补，∴k_PB=-k_PA=-k．
则B(

8k2+8k?2

1+4k2

，

?4k2+4k+1

1+4k2

)．
∴k