Question

已知椭圆 C： x 2 4 + y 2 =1 ，左右焦点分别为F 1 ，F 2 ，（1）若C上一点P满足∠F 1

已知椭圆 C： x 2 4 + y 2 =1 ，左右焦点分别为F 1 ，F 2 ，（1）若C上一点P满足∠F 1 PF 2 =90°，求△F 1 PF 2 的面积；（2）直线l交C于点A，B，线段AB的中点为 (1， 1 2 ) ，求直线l的方程．

Answer 1

（1）由第一定义，|PF 1 |+|PF 2 |=2a=4，即 |P F 1 | 2 +|P F 2 | 2 +2|P F 1 ||P F 2 |=16 由勾股定理， |P F 1 | 2 +|P F 2 | 2 =(2c ) 2 =12 ， ∴|PF 1 ||PF 2 |=2， S △ F 1 P F 2 = 1 2 |P F 1 ||P F 2 |=1 ． （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），满足 x 1 2 4 + y 1 2 =1 ， x 2 2 4 + y 2 2 =1 ， 两式作差 ( x 1 + x 2 )( x 1 - x 2 ) 4 +( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 )=0 ， 将x 1 +x 2 =2，y 1 +y 2 =1代入，得 ( x 1 - x 2 ) 2 +( y 1 - y 2 )=0 ，可得 k AB = y 1 - y 2 x 1 - x 2 =- 1 2 ， ∴直线方程为： y=- 1 2 x+1 ．