Question

设数列{an}的前n项和Sn=2n+1，数列{bn}满足bn=1(n+1)log2an+n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{

设数列{an}的前n项和Sn=2n+1，数列{bn}满足bn=1(n+1)log2an+n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=4，…（2分）
由S_n=2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2ⁿ，n≥2，
∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1?2n =2ⁿ，n≥2．
∴an＝

4，n＝1 2n，n≥2

．…（6分）
（2）当n=1时，b1＝

1

2log24

+1=

5

4

，∴T1＝

5

4

，…（7分）
当n≥2时，
bn＝

1

(n+1)log22n

+n
=

1

n(n+1)

+n=

1

n

?

1

n+1

+n，…（9分）
Tn＝

5

4

+(

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n

?

1

n+1

)+（2+3+4+…+n）
=

1

4

+（

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n

?

1

n+1

)+（1+2+3+4+…+n）
=

3

4

?

1

n+1

+

n(n+1)

2

，…（11分）
上式对于n=1也成立，
∴T_n=

3

4

?

1

n+1

+

n(n+1)

2

．…（12分）