（2014?陕西一模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯
（2014?陕西一模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，...
（2014?陕西一模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角B1-AC-B的余弦值．
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解答：
（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，
则四边形ABCO为正方形，
∴OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1
∴四边形A1B1CO为平行四边形，
∴A1O∥B1C，
又∵A1O?平面AB1C，B1C?平面AB1C，
∴A1O∥平面AB1C．…（6分）
（Ⅱ）∵D1A=D1D，O为AD的中点，
∴D1O⊥AD，又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，
∴D1O⊥底面ABCD，…（7分）
以O为原点，OC，OD，OD1所在直线分别为x轴，y轴，Z轴，
建立如图所示的坐标系，
由题意得：C（1，0，0），D（0，1，0），
D1（0，0，1），A（0，-1，0），…（8分）
∴
＝(1，?1，0)，
=（0，-1，1），
=（0，-1，-1），
=（1，-1，0），
设
＝(x，y，z)为平面CDD1C1的一个法向量，
则
⊥
，
⊥
，∴
，
令Z=1，则y=1，x=1，∴
＝(1，1，1)，…（10分）
设
＝(x1，y1，z1)为平面AC1D1的一个法向量，
则
⊥
，
⊥
，∴
，令Z1=1，
则y1=-1，x1=-1，∴
＝(?1，?1，1)，
∴cos＜
（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，
则四边形ABCO为正方形，
∴OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1
∴四边形A1B1CO为平行四边形，
∴A1O∥B1C，
又∵A1O?平面AB1C，B1C?平面AB1C，
∴A1O∥平面AB1C．…（6分）
（Ⅱ）∵D1A=D1D，O为AD的中点，
∴D1O⊥AD，又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，
∴D1O⊥底面ABCD，…（7分）
以O为原点，OC，OD，OD1所在直线分别为x轴，y轴，Z轴，
建立如图所示的坐标系，
由题意得：C（1，0，0），D（0，1，0），
D1（0，0，1），A（0，-1，0），…（8分）
∴
| DC |
| DD1 |
| D1A |
| D1C1 |
设
| m |
则
| m |
| DC |
| m |
| DD1 |
|
令Z=1，则y=1，x=1，∴
| m |
设
| n |
则
| n |
| D1A |
| n |
| D1C1 |
|
则y1=-1，x1=-1，∴
| n |
∴cos＜
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