Question

设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，Snn)都在函数f（x）=x+1的图象上．（1）求数列{an}的通项

设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，Snn)都在函数f（x）=x+1的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，b5+b100的值；（3）设An为数列{an?1an}的前n项积，若不等式Anan+1＜f(a?1)?32a对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵点(n，

Sn

n

)都在函数f（x）=x+1的图象上，∴

Sn

n

＝n+1即S_n=n²+n----------------------2’
∴a₁=S₁=2当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n----------------3’
显然，n=1时，满足上述等式，∴a_n=2n（n∈N^*）---------------------4’
（2）由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，
因此第100个括号应在第25组第4个括号---------------------------------------------6’
该括号内四项分别为a₂₄₇、a₂₄₈、a₂₄₉、a₂₅₀-----------------------------------------7’
因此b₁₀₀=a₂₄₇+a₂₄₈+a₂₄₉+a₂₅₀=494+496+498+500=1988-------------9’
又b₅=a₁₁=22，∴b₅+b₁₀₀=2010------------------------------------------------10’
（3）∵An

an+1

＝(1?

1

a1

)(1?

1

a2

)…(1?

1

an

)?

2n+1

---------------------------11’
∴

An+1 an+1+1

An an+1

＝

(1? 1 a1 )(1? 1 a2 )…(1? 1 an )(1? 1 an+1 )? 2n+3

(1? 1 a1 )(1? 1 a2 )…(1? 1 an )? 2n+1

=

2n+1 2n+2 2n+3

2n+1

＝

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1恒成立----------------13’
∴{An

an+1

}单调递减，∴(An

an+1

)max＝A1

a1+1

＝

3

2

---------------15’
∴f(a?1)?

3

2a

＞

3

2

即