Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°。求证：BE=CF；（2）

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°。求证：BE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4。求GH的长；（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4，直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长（用n的代数式表示）。





Answer 1

解：（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°， ∴∠EAB+∠AEB=90°， ∵∠EOB=∠AOF=90°， ∴∠FBC+∠AEB=90°， ∴∠EAB=∠FBC， ∴△ABE≌△BCF， ∴BE=CF； （2）如图2，过点A作AM//GH交BC于M， 过点B作BN//EF交CD于N，AM与BN交于点O′， 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴EF=BN，GH=AM， ∵∠FOH=90°，AM//GH，EF//BN， ∴∠NO′A=90°， 故由（1）得，△ABM≌△BCN， ∴AM=BN， ∴GH=EF=4； （3）①8；②4n。