Question

(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE＝CF. (2) 如图2,在

(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE＝CF. (2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF＝4.求GH的长. (3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

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

Answer 1

(1) 证明：如图1， ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴  AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，  ∴  ∠EAB+∠AEB=90°. ∵  ∠EOB=∠AOF＝90°, ∴  ∠FBC+∠AEB=90°，∴  ∠EAB=∠FBC，            ∴  △ABE≌△BCF ，   ∴  BE=CF．  ………………3分          (2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M， 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O / ， 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，  ∴  EF=BN,GH=AM，         ∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO / A=90°, 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴  AM=BN， ∴  GH=EF=4． ………………6分       (3) ① 8．② 4n．   ………………8分

（1）关键是证出∠CBF=∠BAE，可利用同角的余角相等得出，从而结合已知条件，利用SAS可证△ABE≌△BCF，于是BE=CF； （2）过A作AM∥GH，交BC于M，过B作BN∥EF，交CD于N，AMBN交于点O′，利用平行四边形的判定，可知四边形AMHG和四边形BNFE是?，那么AM=GH，BN=EF，由于∠EOH=90°，结合平行线的性质，可知∠AO′N=90°，那么此题就转化成（1），求△BCN≌△ABM即可； （3）①若是两个正方形，则GH=2EF=8；②若是n个正方形，那么GH=n?4=4n．