Question

过抛物线y 2 =2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A、B两点．（Ⅰ）

过抛物线y 2 =2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A、B两点．（Ⅰ）试证明A、B两点的纵坐标之积为定值；（Ⅱ）若点N（-m，2m），求直线AN、BN的斜率之和．

Answer 1

（1）证明：由题意设直线AB的方程为x=ty+m，A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ） 由 x=ty+m y 2 =2px  消x得：y 2 -2pty-2pm=0    ① ∴y 1 y 2 =-2pm为定值．    （2）设直线AN，BN的斜率分别为k 1 k 2 ， 则 k 1 = y 1 -2m x 1 +m ， k 2 = y 2 -2m x 2 +m 又 x= y 2 2p ，2pm=-y 1 y 2 ，且y 1 ≠y 2 ， 所以k 1 +k 2 = y 1 -2m y 21 2p +m + y 2 -2m y 22 2p +m =2p（ y 1 -2m y 21 +2pm + y 2 -2m y 22 +2pm ） =2p（ y 1 -2m y 21 - y 1 y 2 + y 2 -2m y 22 - y 1 y 2 ） =2p ? y 1 y 2 -2 y 2 m- y 1 y 2 +2 y 1 m y 1 y 2 ( y 1 - y 2 ) = 4pm y 1 y 2 =-2． 即直线AN，BN的斜率和为-2为所求．