Question

过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：

过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=-a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=P2时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1?S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当a=

p

2

时，如图所示，设M(

y 2 1

2p

，y1)，N(

y 2 2

2p

，y2)．则M1(?

p

2

，y1)，N1(?

P

2

，y2)，A(

p

2

，0)．
则

AM1

?

AN1

=（-p，y₁）?（-p，y₂）=p²+y₁y₂．（*）
设直线MN的方程为my+

p

2

=x，联立

my+ p 2 ＝x y2＝2px

，化为y²-2pmx-p²=0．
∴y1y2＝?p2．
代入（*）可得

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