Question

已知圆C：x 2 +y 2 +Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C在第二象限，半径为 。（1）求圆C的方程；（2

已知圆C：x 2 +y 2 +Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C在第二象限，半径为 。（1）求圆C的方程；（2）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由x 2 +y 2 +Dx+Ey+3=0， 得 ∴圆C的圆心C的坐标为 半径 由 ，得 故D 2 +E 2 =20  ① ∵圆C关于直线x+y-1=0对称， 故圆心 在直线x+y-1=0上， ∴ ，故D+E=-2，② 由②式，得E=-2-D， 代入①式，得D 2 +（-2-D） 2 =20， 即D 2 +2D-8=0，解得D=-4，或D=2 又∵圆心 在第二象限， 故 ，解得D>0， 故D=2，E=-2-2=-4， ∴圆C的方程为：x 2 +y 2 +2x-4y+3=0， 即（x+1） 2 +（y-2） 2 =2。 （2）直线l在x轴，y轴上的截距相等，设为a， 由（1）知圆C的圆心C（-1，2）， 当a=0时，直线l过原点，设其方程为y=kx， 即kx-y=0， 若直线l：kx-y-0与圆C相切，则 即k 2 -4k-2=0，解得 此时直线l的方程为 即 当a≠0时，直线l的方程为 即x+y-a=0， 若直线l：x+y-a=0与圆C相切， 则 即|a-1|=2，解得a=-1，或a=3 此时直线l的方程为x+y+1=0，或x+y-3=0 综上所述，存在四条直线满足题意，其方程为 或x+y+1=0或x+y-3=0。