Question

在平面直角坐标系xOy中，设M是椭圆x2a2+b2y2=1（a＞b＞0）上在第一象限的点，A（a，0）和B（0，b）是椭圆

在平面直角坐标系xOy中，设M是椭圆x2a2+b2y2=1（a＞b＞0）上在第一象限的点，A（a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB的面积的最大值．

Answer 1

已知椭圆

x2

a2

+

b2

y2

=1的参数方程为

x＝acosφ y＝bsinφ

．
由题设可令M（acosφ，bsinφ），其中0＜φ＜

π

2

．
所以，S_{四边形MAOB}=S_△MAO+S_△MOB=

1

2

OA?y_M+

1

2

OB?x_M=

1

2

ab（sinφ+cosφ）=

2

2

absin（φ+

π

4

）．
所以，当φ=

π

4

时，四边形MAOB的面积的最大值为

2

2

ab．