Question

（2010?高淳县一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）求证

（2010?高淳县一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）（A类）连接CE，当BE平分∠ABC时，求证：CE⊥BF；（B类）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：CE⊥BF．

Answer 1

解答：（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠FDE，
又∵点E是AD的中点，
∴AE=DE．
在△ABE与△DFE中，
∵∠BAD=∠FDE，AE=DE，∠BEA=∠FED，
∴△ABE≌△DFE．

（2）A类：
证明：∵△ABE≌△DFE，
∴∠ABE=∠BFC，BE=EF，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠BFC，
∴△BCF是等腰三角形，
∴CE⊥BF；
B类：
证明：∵△ABE≌△DFE，
∴DF=AB，
又∵CD=AB，
∴CF=2CD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE．
又∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠FCE=∠DEC，
∴DE=CD，
又∵AE=DE，
∴BC=2CD，
∴CF=BC，
又∵CE平分∠BCD，
∴CE⊥BF．