Question

求级数∑ (n=1→∞)(n+2)x^(n+3)的和函数

Answer 1

　　对函数
　　　　f(x) = ∑(n>=1)[(n+2)x^(n+1)]，|x|<1，
逐项积分，得
　　　　∫[0,x]f(t)dt = ∑(n>=1)[x^(n+2)]
　　　　　　　　 = -(1+x+x²)+1/(1-x)，|x|<1，
求导，得
　　　　f(x) = -(1+2x)+1/(1-x)²，|x|<1，
于是，
　　　　 ∑(n>=1)[(n+2)x^(n+1)]
　　　　= f(x)*x²
　　　　= -(1+2x)x²+x²/(1-x)²，|x|<1。

Answer 2

幂级数∑(-1)^n*x^n/2^n=∑(-x/2)^n是公比为-x/2的等比级数，当|-x/2|＜1时绝对收敛，当|-x/2|＞1时发散，所以收敛半径是2，收敛区间与收敛域都是(-2,2)。
幂级数∑3^n*x^n=∑(3x)^n是公比为3x的等比级数，当|3x|＜1时绝对收敛，当|3x|＞1时发散，所以收敛半径是1/3，收敛区间与收敛域都是(-1/3,1/3)。
所以，幂级数∑(-1)^n*x^n/2^n+3^n*x^n的收敛半径是min{2,1/3)=1/3，当=±1/3时，幂级数都发散，收敛区间与收敛域都是(-1/3,1/3)。

Answer 3