Question

求f(x,y,z)=xyz在球面x2+y2+z2=3上的最大值和最小值?

Answer 1

f(x,y,z)=xyz
→f²(x,y,z,)=x²y²z²
≤[(x²+y²+z²)/3]³
=1
→-1≤f(x,y,z)≤1.
∴x=y=z=1时，
所求最大值为1;
当x、y、z中，
有一个为-1另两个为1时，
所求最小值为-1。

Answer 2

参数方程：x=rcosacosb,y=rcosasinb,z=rsina
f=r^3cosa^2sinasinbcosb
sinb*cosb=sin(2b)/2,最大值是1/2，最小值是-1/2
cosa^2sina
对a求导：cosa^3-2cosasina^2=0
得到cosa=0,和3cosa^2-2=0
cosa=正负√6/3
得到cosa^2sina的最大值是：2√3/9最小值是负数
综上，最小值是最大值是3√3*√3/9=1,最小值是﹣1