Question

设R（A）为矩阵的秩，为何R（E-A）=R（A-E）？怎么证？

Answer 1

利用了矩阵的秩的性质

矩阵乘以一个非零常数，秩不变

k为非零常数时，R(kA)＝R(A)

令k＝-1

R(E－A)＝R[(-1)×(A－E)]＝R(A－E)

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

扩展资料：

方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或  。

m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

在方块矩阵A（就是 m= n) 的情况下，则 A是可逆的，当且仅当 A有秩 n（也就是 A有满秩）。如果 B是任何 n× k矩阵，则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推广到若干个矩阵的情况，就是：秩（A1A2...Am)≤min（秩（A1），秩（A2），...秩（Am))

参考资料：百度百科——矩阵的秩

Answer 2

利用了矩阵的秩的性质
矩阵乘以一个非零常数，秩不变

k为非零常数时，R(kA)＝R(A)

令k＝-1
R(E－A)＝R[(-1)×(A－E)]＝R(A－E)