Question

如图，△ABC中，AB=AC，角BAC=90°，D是BC的中点，ED垂直于FD，ED与AB交于E，FD与AC交于F。

求证：BE=AF，AE=CF

Answer 1

证明：

连接AD。

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠B=∠C=45°

∵D是BC的中点，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°（三线合一）

∴∠B=∠FAD=45°

    ∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°

∵ED⊥FD

∴∠ADE+∠ADF=∠EDF=90°

∴∠BDE=∠ADE,

又∵AD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∴△BDE≌△ADF（ASA）

∴BE=AF

∴AB-BE=AC-AF

即AE=CF。

Answer 2

证明：
连接AD。
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=45°
∵D是BC的中点
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°（三线合一）
∴∠B=∠FAD=45°
∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°
∵ED⊥FD
∴∠ADE+∠ADF=∠EDF=90°
∴∠BDE=∠ADE
又∵AD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴△BDE≌△ADF（ASA）
∴BE=AF
∴AB-BE=AC-AF
∴AE=CF