Question

己知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a

己知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5-3b2=7
(1)求{an}和{bn}的通项公式
(2)设Cn=anbn，n属于正整数，求数列{Cn}的前n项和

Answer 1

解：

(1)

设{an}公比为q，则q>0，设{bn}公差为d。

a5-3b2=7，b2=(a5-7)/3

b1+b2+b3=3b2=1+2a3，b2=(2a3+1)/3

(a5-7)/3=(2a3+1)/3

a1q⁴-7=2a1q²+1

a1=1代入，整理，得q⁴-2q²-8=0

(q²+2)(q²-4)=0

q²=-2(舍去)或q²=4

q>0，q=2

b2=(a1q⁴-7)/3=(1·2⁴-7)/3=3

d=b2-b1=3-1=2

an=a1qⁿ⁻¹=1·3ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹

bn=b1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1

数列{an}的通项公式为an=2ⁿ⁻¹，数列{bn}的通项公式为bn=2n-1

(2)

cn=anbn=(2n-1)·2ⁿ⁻¹

Tn=1·1+3·2+5·2²+...+(2n-1)·2ⁿ⁻¹

2Tn=1·2+3·2²+...+(2n-3)·2ⁿ⁻¹+(2n-1)·2ⁿ

Tn-2Tn=-Tn

=1+2·2+2·2²+...+2·2ⁿ⁻¹-(2n-1)·2ⁿ

=1+2·(2+2²+...+2ⁿ⁻¹)-(2n-1)·2ⁿ

=1+2·2·(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ

=(3-2n)·2ⁿ-3

Tn=(2n-3)·2ⁿ+3