Question

函数连续性题目

证明：当A>O,B>O时，对连续函数f(x)，x属于[a,b],对任意的x1，x2，总存在一个数z,z属于[a,b],使得Af(x1)+Bf(x2)=(A+B)f(z).

Answer 1

介绍下介值定理:在闭区间上连肆卜烂续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.
介绍下连续函数的最大最小值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值与最小值.

由弊拆以上两个定理,可以解题.
假设f(x)在闭区间裂漏[a,b]上有最大值M,最小值m,那么m≤f(x)≤M
于是:am≤af(x1)≤aM,bm≤bf(x2)≤bM
所以:(a+b)m≤af(x1)+bf(x2)≤(a+b)M...........(※)

对于函数F(x)=(a+b)f(x),首先可以肯定它是连续函数,另外,可以从前面的分析知道这个函数的最大最小值:(a+b)m≤F(x)≤(a+b)M
根据※可以知道,数值af(x1)+bf(x2)是处于函数F(x)的最大值和最小值之间的一个数,那么由于介值定理,必然有一个x=z,使得:
af(x1)+bf(x2)=(a+b)f(z)

证毕