Question

设f(x,y)连续,且f(x,y)= xy + ∫∫D f(u,v)dudv,其中D是由y=0,y=x……2,x=1所围区域,则f(x,y)等于（）

我想知道两边积分后等式左边为什么是a
二重积分∫∫D f(u,v)dudv 进行计算之后得到的是一个常数,不妨设其为a,
即 f(x,y)= xy + a,
现在将这个等式两边都在区域D上进行二重积分,
即 ∫∫D f(x,y)dxdy = ∫∫D xy dxdy + ∫∫D a dxdy
显然等式左边也等于a

Answer 1

xy+1/8。

解题步骤如下：

1、设f(x，y)=xy+c

2、c=∫∫(D)f(u,v)dudv

= ∫∫(D)uv+cdudv

=∫(下0上1)∫(下0上u^2)(uv+c)dvdu

=1/12+c/32c/3

=1/12 c

=1/8

3、所以，f(x,y)等于xy+1/8；

扩展资料：

解题思路：

1、二重积分∫∫D f(u,v)dudv 和∫∫D f(x,y)dxdy 实际上是一样的，只是改变了字母显然在这个式子里，二重积分∫∫D f(u,v)dudv 进行百计算之后得到的是一个常数，不度妨设其为a，即回 f(x,y)= xy + a，

2、现在将这个等式两边都在区域D上进行二重积分，即 ∫∫答D f(x,y)dxdy = ∫∫D xy dxdy + ∫∫D a dxdy显然等式左边也等于a，即 a=∫∫D xy dxdy + ∫∫D a dxdy而 ∫∫D dxdy 就等于区域D的面积S，S=∫ (上限1，下限0) x² dx=1/3

3、所以a=∫∫ xy dxdy + a/3即a=3/2 ∫∫D xy dxdy再对二重积分∫∫D xy dxdy 进行计算∫∫D xy dxdy= ∫(上限1,下限0) dx ∫(上限x²,下限0) xy dy=∫(上限1,下限0) 0.5 x^5 dx=1/12，所以a=3/2 × 1/12=1/8，即f(x,y)= xy + 1/8