Question

A是n阶矩阵，证明A有n个线性无关的特征向量时， A可对角化。求大神讲的明白一点～

Answer 1

n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

证明过程：

（1）必要性

设有可逆矩阵P，使得

令矩阵P的n个列向量为

则有

因而

因为P为可逆矩阵，所以

为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值 

的特征向量。

（2）充分性。

由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为

 对应的特征值分别为

 则有

 以这些向量为列构造矩阵

 则P可逆，且

 其中C如下：

即

推论

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。 

说明：当A的特征方程有重根时．就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

扩展资料

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：

对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。

Answer 2

设A的特征向量为x1,x2,...,xn, 对应的特征值为s1,s2,...,sn
则Ax1 =s1 x1, Ax2=s2x2 ..., Axn = snxn
或A(x1,x2,...,xn) = (x1,x2,...,xn)diag (s1, s2,...,sn)
diag(s1, s2,...,sn)表示(s1, s2,...,sn)为对角元素的方阵
因为x1,x2,...,xn线性无关，所以矩阵(x1,x2,...,xn)满秩可逆
所以
(x1,x2,...,xn)'A(x1,x2,...,xn) = diag(s1,s2,...sn)
其中(x1,x2,...,xn)'为(x1,x2,...,xn)的逆矩阵