Question

复变函数：2^（1+i） 需要考虑到2kπ

Answer 1

Ln[2^(1+i)]
=Ln{[2e^(2kπi)]^(1+i)}
=(1+i)Ln[2e^(2kπi)]
=(1+i)(ln2+2kπi)
=(ln2-2kπ)+(ln2+2kπ)i
(k∈Z)

所以，
2^(1+i)
=e^(ln2-2kπ)·[cos(ln2+2kπ)+isin(ln2+2kπ)]
=e^(ln2-2kπ)·[cos(ln2)+isin(ln2)]
(k∈Z)

追答

答案还可以写成
2·e^(-2kπ)·[cos(ln2)+isin(ln2)]
(k∈Z)

追问

我还发了一道复变函数的证明题 不知道您能不能帮我解答一下

Answer 2

其实你还可以想想三角函数，不也是周期函数吗？
sin(x)的周期是2π
cos(x)的周期是2π
而e^(i
x)
=
cos(x)
+
i
sin(x)
同样周期也是2π
所以可以表达为e^(i
x)
=
e^(i
x
+
i
2kπ)
例如
1
=
e^(i
2kπ)
-
1
=
e^(i
π
+
i
2kπ)
i
=
e^(i
π/2
+
i
2kπ)
-
i
=
e^(i
3π/2
+
i
2kπ)
每旋转一圈，增幅arg(z)就增加2π
旋转k圈，就增加了2kπ个幅度了