Question

高中数学归纳法

高中数学归纳法数学归纳法第一步 取n=一个特殊值，有什么意义？

Answer 1

归纳法的思路时，先证明对某个N命题成立。
然后证明若n=k命题成立，就可以得到n=k+1命题成立。
这样一开始对N成立，就对N+1成立，也就对N+2成立……从而一直推下去
所以一开始这个起到了一个奠基的作用
如果没有一开始这个，即使你证明了“若n=k命题成立，就可以得到n=k+1命题成立” 也可能得不到结果，因为你没有说明究竟有没有第一个成立的

Answer 2

数学归纳法的逻辑内涵是：
（1）证明命题对某一个特殊值成立（这个特殊值实际就是递推串的起点）
（2）证明“如果n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立”（建立能够递推的串）
（3）根据（1）、（2），推出命题对所有满足条件的n成立
通俗来说，根据（1），知道命题对特殊值m成立，那么根据（2），推出对m+1成立。后面就是重复这一步骤，对m+1成立，则对m+2也必成立......这就形成了递推串，使命题得证。

Answer 3

（1）当n=1时，左边=1-1=0，右边=1x0x2/4=0所以左边=右边所以当n=1时，结论成立（2）假设当n=k(k为正整数）时结论成立所以(k^2-1)+2(k^2-2^2)+...+k(k^2-k^2)=k^2(k-1)(k+1)/4当n=k+1时[(k+1)^2-1]+2[(k+1)^2-2]+...+(k+1)[(k+1)^2-(k+1)^2]=(k^2-1)+2(k^2-2^2)+...+k(k^2-K^2)+(2k+1)+2(2k+1)+...+k(2k+1)=k^2(k-1)(k+1)/4+(k+2)((k+1)(2k+1)/2=(k+1)^2[(k+1)^2-1][(k+1)^2+1]所以当n=k+1(k+1为正整数）时结论成立综上得结论成立！

Answer 4

数学归纳法 就好像多米诺骨牌。第一步就好像第一个骨牌，推倒其他的都倒了。

Answer 5

数学上证明与
自然数
n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与
正整数
有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
（一）第一数学归纳法：
　　一般地，证明一个与自然数n有关的命题p(n)，有如下步骤：
　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
　　（2）假设当n=k（
k≥n0，k为自然数
）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。
　　（二）第二数学归纳法：
　　对于某个与自然数有关的命题p(n)，
　　（1）验证n=n0时p(n)成立；
　　（2）假设n0≤n<k时p(n)成立，并在此基础上，推出p(k+1)成立。
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。
　　（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
　　（1）验证对于无穷多个自然数n命题p(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
　　（2）假设p(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出p(k)成立，
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立；
　　（四）螺旋式归纳法
　　对两个与自然数有关的命题p(n)，q(n)，
　　（1）验证n=n0时p(n)成立；
　　（2）假设p(k)（k>n0）成立，能推出q(k)成立，假设
q(k)成立，能推出
p(k+1)成立；
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），p(n)，q(n)都成立。
数学归纳法的变体　　在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
从0以外的数字开始
　　如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：
　　第一步，证明当n=b时命题成立。
第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。
　　用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。
只针对偶数或只针对奇数
　　如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：
　　奇数方面：
　　第一步，证明当n=1时命题成立。
第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
　　偶数方面：
　　第一步，证明当n=0或2时命题成立。
第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
递降归纳法
　　数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。