Question

自然对数为什么用e 我觉得用圆周率π 不也可以吗

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=lnxx，∴f′（x）=1?lnxx2，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即lnππ＜ln33＜lnee，由lnππ＜ln33，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由ln33＜lnee，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，lnππ＜lnee，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=1e，即lnxx＜1e．在上式中，令x=e2π，又e2π＜e，则lne2π＜eπ，从而2-lnπ＜eπ，即得lnπ＞2?eπ．①由①得，elnπ＞e（2-eπ）＞2.7×（2-2.723.1）＞2.7×（2-0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6-3eπ＞6-e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．

Answer 2

当然可以，因为
e^(iπ)=-1
所以，π=ln（-1）/i

Answer 3

这是一个定义常数，有特殊性质的