Question

求解一个简单一阶线性微分方程

问题在图中蓝字，谢谢。

Answer 1

求微分方程 xy'-y=2x³满足初始条件y(1)=1的特解。
解：由原方程可见：x≠0；因为若x=0，则y=0，不可能初始条件满足y(1)=1。所以可用x同除两边。
两边同除以x得 y'-(y/x)=2x²............①
先求齐次方程 y'-(y/x)=0的通解：
分离变量得：dy/y=dx/x；积分之得lny=lnx+lnc₁=lnc₁x;
故齐次方程的通解为：y=c₁x；把c₁换成x的函数u，得y=ux...........②
将②对x取导数得y'=u'x+u...........③
将②③代入①式得：u'x+u-(ux/x)=2x²；
化简得u'x=2x²，即u'=2x，du=2xdx，积分得u=x²+c；
代入②式即得原方程的通解为：y=x³+cx；
代入初始条件得1=1+c，故c=0；于是得特解为：y=x³.

追问

这是依据初值条件判断的吧？那么如果这题不给初值条件，只要求通解呢？还能两边同除x？

追答

可以用另一种解法。
先求齐次方程 xy'-y=0的通解：xy'=y，即x(dy/dx)=y;
分离变量得dy/y=dx/x；下面解法一样。

这叫分离变量，包含两边同除以y和两边同乘以dx/x；这一操作过程，暗含x≠0的条件。
道理也是一样的：如果x=0，则原方程变成y≡0；这微分方程也就不存在了。所以解微分方程时，一般不予考虑。

Answer 2

钻牛角尖了。

Answer 3

x=0 则y=0
不用讨论x=0的情况

追问

不明白

追答

当x=0时
则0*y'-y=0 y=0