Question

同解齐次线性方程组的秩一定相等吗

Answer 1

一定相同。

齐次线性方程组指的是常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

判定定理：

齐次线性方程组：

有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

推论：

齐次线性方程组：

仅有零解的充要条件是r(A)=n。

Answer 2

两个线性方程组Ax=0与Bx=0同解,x是n维列向量
解相同,所以可以有相同的极大无关组,也就是有相同的基础解系,
基础解系所含的向量个数也是一样的
但是Ax=0的基础解系所含向量个数是n-r(A)
但是Bx=0的基础解系所含向量个数是n-r(B)
所以 n-r(A)=n-r(B)
从而 r(A)=r(B)

Answer 3

方程组同解则行向量等价，进而秩相同

Answer 4

引用houzheng1976的回答：
两个线性方程组Ax=0与Bx=0同解,x是n维列向量
解相同,所以可以有相同的极大无关组,也就是有相同的基础解系,
基础解系所含的向量个数也是一样的
但是Ax=0的基础解系所含向量个数是n-r(A)
但是Bx=0的基础解系所含向量个数是n-r(B)
所以 n-r(A)=n-r(B)
从而 r(A)=r(B)

两个n为啥相等