Question

ln(1+1/n)<1/n为什么？

Answer 1

证明如下：
原不等式成立的充分条件是ln(1+1/x)<1/x,x>0
F(x)=ln(1+1/x)-1/x,
求导：F'(x)=-x/[(x+1)x^2]+1/x^2=1/(x^2(x+1))>0
故F(x)在x>0时单增，
最大值不存在，但lim（x→+∞)F(x)=0
故F(x)的水平渐近线是y=0
F(x)<0，
ln(1+1/x)<1/x
故ln(1+1/n)<1/n成立

Answer 2

两边取exp,设x=1/n
左边1+x 右边e^x
根据定义得e^x=x^0/0!+x^1/1!+x^2/2!+......
前两项为1+x，所以只要x>0，1/x<e^x
所以ln(1+1/n)<1/n (n>0)