Question

求不定积分，什么时候需要考虑定义域？ 定义域不连续时？ 如图例题不连续的区间需要分开求

求不定积分，什么时候需要考虑定义域？
定义域不连续时？

如图例题不连续的区间需要分开求途中红色笔记借鉴自网络回答！

Answer 1

①可导与导函数可导是对定义域内的点而言的;处处可导则存在导函数，此外还函数可以在某处可导;只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其他各处均可导。②可积与原函数对于不定积分:[同济五版(上)]给出的定义是:在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx在区间I上的不定积分.所以可积与存在原函数是等价的。对于定积分:同济五版对定积分可积有给出两个充分条件定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。(因为连续函数的原函数必存在!反之不成立。)定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。函数在某个区间存在原函数，那么根据牛顿莱布尼兹公式，函数在这个区间存在定积分;函数在某个区间[a,b]存在定积分，则不能确定函数在这个区间上存在圆函数。③可导与连续函数在某处可导那么一定在该处连续;函数在某处连续不一定在该处可导。④连续与可积如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积;反之，如果函数在某个区域可积，不能保证函数在该区域连续。比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。

Answer 2

①可导与导函数可导是对定义域内的点而言的;处处可导则存在导函数，此外还函数可以在某处可导;只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其他各处均可导。②可积与原函数对于不定积分:[同济五版(上)]给出的定义是:在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx在区间I上的不定积分.所以可积与存在原函数是等价的。对于定积分:同济五版对定积分可积有给出两个充分条件定理1
设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。(因为连续函数的原函数必存在!反之不成立。)定理2
设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。函数在某个区间存在原函数，那么根据牛顿莱布尼兹公式，函数在这个区间存在定积分;函数在某个区间[a,b]存在定积分，则不能确定函数在这个区间上存在圆函数。③可导与连续函数在某处可导那么一定在该处连续;函数在某处连续不一定在该处可导。④连续与可积如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积;反之，如果函数在某个区域可积，不能保证函数在该区域连续。比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。