Question

复变函数第三题第一问

Answer 1

将原级数第n项设为an，则lim（n->无穷）a（n+1）/an
= lim（n->无穷）{[i^(n+1)]/(n+1)}/[(i^n)/n]
= lim（n->无穷）in/(n+1)=i,
当-1<i<1时，lim（n->无穷）|a（n+1）/an|=|i|<1,故原级数绝对收敛，
当i=-1时，lim（n->无穷）|a（n+1）/an|=|i|=1，且a（n+1）/an=in/(n+1)<0，故原级数条件收敛，
当i>1或i<-1时,lim（n->无穷）|a（n+1）/an|=|i|>1,故原级数发散，
当i=1时，lim（n->无穷）|a（n+1）/an|=|i|=1，且a（n+1）/an=in/(n+1)>0，故原级数发散，
综上，当-1<i<1时，原级数绝对收敛，当-1<=i<1时,原级数收敛，当i>=1或i<-1时,原级数发散。