Question

微分方程用待定系数法求 (x^2+1)y'+2xy=1

微分方程用待定系数法求
(x^2+1)y'+2xy=1先算出齐次的通解y=c/x^2+1
然后代入原方程解y=x+c为什么是错的呢？
为什么答案是y=x+c/x^2+1

Answer 1

求微分方程 (x²+1)y'+2xy=1的通解

解：(x²+1)dy+(2xy-1)dx=0

P=2xy-1；Q=x²+1；

∂P/∂y=2x=∂Q/∂x；故此方程是全微分方程，其通解u(x，y)：

或写成显性形式为：y=(x+C)/(x²+1).

Answer 2

应是换元法:
设y=Y/(x²+1),则Y=(x²+1)y
(x²+1)y'+2xy=1
(x²+1)(Y/(x²+1))'+2x(Y/(x²+1))=1
(x²+1)((Y'(x²+1)-2xY)/(x²+1)²)+2x(Y/(x²+1))=1
Y'-(2xY)/(x²+1)+(2xY/(x²+1)=1
Y'=1
Y=x+C
(x²+1)y=x+C
所以y=(x+C)/(x²+1)