Question

如何证明(（1+x）/x)^x的极限是e

Answer 1

解题思路如下：

令1/x=t，t趋向0，原极限=S=(1+t)^(1/t)
则lnS=[ln(1+t)]/t=(罗比达法则，分子分母都求导)=[1/(1+t)]/1，0代入得lnS趋向1，故S趋向e。

e 是从lim(1+1/x)^x 定义出来的,e的意义在於 e^x 的微分导数等於e^x,

至於lim(1+1/x)^x= 2.7182.就用很大的数字代入(1+1/x)^x或用很小的数字代入(1+x)^(1/x)你都可以得到e 的近似,而这是无理数,你永远也不能找到尽头,问题是lim(1+1/x)^x=e 而e这个数是否有这神奇的特性:e^x 的微分导数等於e^x,自己.

我们做一个微分 y=a^x

y'= lim(△x->0) [a^(x+ △x) - a^x]/ △x
= lim(△x->0) a^x [a^ △x) - 1]/ △x
问题是a是什么数字能使 [a^ △x - 1]=△x 那就会y' = a^x
而答案就是a= (1+△x)^(1/△x) ,{[(1+△x)^(1/△x) ]^ △x - 1}= △x

所以y' = lim(△x->0) a^x [a^ △x) - 1]/ △x
= a^x 而a = lim(△x->0) (1+△x)^(1/△x)
而a 这个数我们叫e 它的数值可以通过代入很大的数字於(1+1/x)^x或用很小的数字代入(1+x)^(1/x)去逼近。

Answer 2

你把它化简为幂指函数，洛必达就可以化简出来。但其实这有一个因果关系，数学上规定（1+1/n）^n的极限等于用e来表示，然后应用夹逼定理就可以推广至x的。

Answer 3

这个教科书上面是有的，=(1+1/x)^x