Question

若n阶矩阵A可对角化，那A的秩即为非0特征值的个数，这句话对吗，逆过来呢？

Answer 1

正确。

原因是A的秩等于其相似对角阵的秩，而对角阵的秩就是非零特征值的个数。所以反过来也是正确的。

既然A可对角化，相似变换不改变秩，把A对角化即得结论。 零矩阵（当然必须是方阵）也算是对角矩阵。

A可对角化时，存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(a1,..,an)

则 R(A) = R(P^-1AP) = Rdiag(a1,...,an) = a1,...,an中非零元素的个数

而A的特征值即a1,...,an

所以 R(A) 等于A的非零特征值的个数。

扩展资料

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是其中是不全为零的任意实数。

Answer 2

正确。

原因是A的秩等于其相似对角阵的秩，而对角阵的秩就是非零特征值的个数。所以反过来也是正确的。

既然A可对角化，相似变换不改变秩，把A对角化即得结论。 零矩阵（当然必须是方阵）也算是对角矩阵。

A可对角化时，存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(a1,..,an)

则 R(A) = R(P^-1AP) = Rdiag(a1,...,an) = a1,...,an中非零元素的个数

而A的特征值即a1,...,an

所以 R(A) 等于A的非零特征值的个数。

扩展资料：

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

Answer 3

这句话是正确的。原因是A的秩等于其相似对角阵的秩，而对角阵的秩就是非零特征值的个数。所以反过来也是正确的。