Question

求limx趋于0[（1 x）^（2/x）-e^2]/x

括号里是1+x

Answer 1

设y=(1+x)^(2/x)
则：lny=(2/x)ln(1+x)
y'/y=2[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
y'=2y[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²=2(1+x)^(2/x)[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
lim[(1+x)^(2/x)-e²]/x (x->0)
=lim[(1+x)^(2/x)]' 反复运用洛必达法则
=lim2(1+x)^(2/x)[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
=2e²lim[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
=2e²lim[1-1/(1+x)-ln(1+x)]/x²
=2e²lim[1/(1+x)²-1/(1+x)]/(2x)
=2e²lim[1/(1+x)²-(1+x)/(1+x)²]/(2x)
=-2e²lim[x/(1+x)²]/(2x)
=-e²lim[1/(1+x)²]
=-e²