Question

∫1/x(x+1)dx

最后答案有绝对值吗？

Answer 1

令√(x-1)=t，那么x=t²＋1
从而dx=2tdt
代入原式
=∫2t/t dt
=2∫dt
=2t＋c
=2√(x-1)＋c

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Answer 2

上下同乘以分子，下面是平方差，上面完全平方，得到
∫(x+1+1-2√(x+1))/(x+1-1) dx
=∫(x+2-2√(x+1))/x dx
=∫1+2/x-2√(x+1))/x dx
=x+2ln|x|-2∫√(x+1))/x dx

x=tan² t
dx=2sec²t*tantdt
∫√(x+1))/x dx
=∫(sect/tan²t)(2sec²t tant)dt
=∫2sec³t/tant dt
=2∫sint/cos^4t dt
=-2/3cos³t+C
=(-2/3)(sec³t)+C
=(-2/3)(1+x²)^(3/2)+C

带回原式
=x+2ln|x|-2∫√(x+1))/x dx
=x+2ln|x|-2(-2/3)(1+x²)^(3/2)+C
=x+2ln|x|+(4/3)(1+x²)^(3/2)+C

Answer 3

∫1/x(x+1)dx＝∫（1/x-1/(x+1)）dx=ln|x|-ln|(x+1)|+c=ln|x/(x+1)|+c

Answer 4

ln|x/(x+1)|+C
解析：
f(x)
=1/[x(x+1)]
=1/x-1/(x+1)
～～～～～～～～～～～～
∫f(x)dx
=∫[1/x-1/(x+1)]dx
=ln|x|-ln|x+1|+C
=ln|x/(x+1)|+C