Question

证明方程1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)=0在(1,2)和(2,3)内各有一个实根

我认为这个题有两点要证明，一是在(1,2)和(2,3)内存在零点，二是函数f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)在(1,2)和(2,3)内严格单调。

先看第一个证明，我有两种想法
一是在等号两边同乘(x-1)(x-2)(x-3)，因为显然原式中x≠1，2，3,所以(x-1)(x-2)(x-3)≠0，所以相乘后的式子依然成立，变成3x^2-12x+11=0。这时函数g(x)=3x^2-12x+11的定义域便不受x≠1，2，3的限制了，故可通过g(1)>0,g(2)<0,g(3)>0来证明函数在(1,2)和(2,3)内存在零点。不知道这种想法有没有漏洞~
还有就是分别在两个区间中找两个具体的数来证明零点的存在。

第二个证明我是没辙了~请高人相助，但愿别说"显然...严格单调"~

谢谢
我证出单调性了
设1<x1<x2<2,则f(x1)-f(x2)=(x2-x1)/(x1-1)(x2-1)+(x2-x1)/(x1-2)(x2-2)+(x2-x1)/(x1-3+x2-3)>0
同理可证f(x)在(2,3)上单减

但是 1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3) 和 3x^2-12x+11=0 是两个不同的函数，不知道我那样转换命题对不对~

Answer 1

第一问：

3x²-12x+11=0，直接解出方程，看一下根的大小不就可以判断了。也要受x≠1，2，3的制约，否则方程无意义。

第二问：单调性只能用定义证明，证明如下：

设1＜x1＜x2＜2

则f(x1)-f(x2)
=1/(x1-1)+1/(x1-2)+1/(x1-3)-[1/(x2-1)+1/(x2-2)+1/(x2-3)]
=[3x1²-12x1+11-(3x2²-12x2+11)]/(x1-1)(x2-1)(x1-2)(x2-2)(x1-3)(x2-3)

分母显然大于0，判断分子正负即可

分子=3(x1²-x2²)-12（x1-x2）=3(x1-x2)(x1+x2-4)
因为1＜x1＜x2＜2
所以：x1-x2＜0，x1+x2-4＜0

即当1＜x1＜x2＜2时，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)

所以函数f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)在(1,2)单调递减

同理可判断在（2，3）区间上是增函数

Answer 2

第一问：

3x²-12x+11=0，直接解出方程，看一下根的大小不就可以判断了。也要受x≠1，2，3的制约，否则方程无意义。

第二问：单调性只能用定义证明，证明如下：

设1＜x1＜x2＜2

则f(x1)-f(x2)
=1/(x1-1)+1/(x1-2)+1/(x1-3)-[1/(x2-1)+1/(x2-2)+1/(x2-3)]
=[3x1²-12x1+11-(3x2²-12x2+11)]/(x1-1)(x2-1)(x1-2)(x2-2)(x1-3)(x2-3)

分母显然大于0，判断分子正负即可

分子=3(x1²-x2²)-12（x1-x2）=3(x1-x2)(x1+x2-4)
因为1＜x1＜x2＜2
所以：x1-x2＜0，x1+x2-4＜0

即当1＜x1＜x2＜2时，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)

Answer 3

nishiduide

Answer 4

第一个挺好的