Question

如图，已知直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC边上的点,且EA=ED，∠AEB=75°，∠DEC=45°，求证AB=BC。

Answer 1

解：作AF⊥CD交CD的延长线于F，
∵∠AEB=75°，∠DEC=45°，
∴∠AED=60°，
又∵EA=ED，①
∴△AED为等边三角形，即AE=AD；
∵∠AEB=75°，AF⊥CD，
∴∠BAE=∠FAD=15°，②
由∠ABE=∠AFD=90°和结论①②可得△ABE≌△AFD（AAS），
∴AB=AF；③
∵∠B=∠C=90°，AF⊥CD，
∴四边形ABCF为矩形，即AF=BC，④
∴由结论③④可得AB=BC．

Answer 2

由∠AEB=75°，∠DEC=45°知∠AED=60°,由EA=ED得出三角形AED为正三角形，所以三角形CEA和三角形CDA全等（sss），故∠ACE为∠C的一半即45度，因此AB=BC