Question

高等数学 变上限积分

我的想法是。0-0形式，洛必达法则。向下求导.就不太会算了。😭😭我的过程可能也有些问题。找大神指点迷津。分析下🙏🙏

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Answer 1

∫(0->x) (x-t) f(t) dt = x∫(0->x) f(t) dt - ∫(0->x) tf(t) dt

let

u=x-t

du =-dt

t=0, u=x

t=x, u=0

∫(0->x) f(x-t) dt 

=∫(x->0) f(u)  (-du)

=∫(0->x) f(t) dt 

lim(x->0)∫(0->x) (x-t) f(t) dt / [ x.∫(0->x) f(x-t) dt  ]

=lim(x->0)[x∫(0->x) f(t) dt - ∫(0->x) -tf(t) dt] / [ x.∫(0->x) f(t) dt ] 

(0/0 分子分母分别求导)

=lim(x->0) [xf(x) + ∫(0->x) f(t) dt - xf(x)] / [ xf(x) +∫(0->x) f(t) dt ] 

=lim(x->0)  ∫(0->x) f(t) dt  / [ xf(x) +∫(0->x) f(t) dt ] 

(0/0 分子分母分别求导)

=lim(x->0)   f(x)  / [ xf'(x)+f(x) + f(x)  ] 

=lim(x->0)   f(x)  / [ xf'(x)+2f(x)  ]                                      

( 分子分母同时除以x)

=lim(x->0)   [f(x)/x ] / [ f'(x)+2f(x)/x  ]                                     

=f'(0)/[f'(0) +2f'(0) ]

=1/3

追问

厉害(ง •̀_•́)ง 最后换成导数定义形式好厉害👍👍

谢谢你。

Answer 2

你的分子部分计算都没问题，分母这里出问题了。实际上换元只需要对积分，前面的x不用换成u+ t

追问

嗯😊，这个我也发现了。后面又给组合成X了。

谢谢你。