lim(x→0)e^sinx-e^x/xsinx
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泰勒公式乘法天下第一先写后问唉。 数字帝国。举报计算器网页wolframalpha。谢谢你。
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这个题尽量把它凑成等价无穷小，用等价无穷小替换来做就可以了。
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你的括号都不括好，sinx等阶x，换了，然后用洛必达，得到(cosxe^sinx-e^x)/(2x), 再洛一次得到(-sinxe^sinx+(cosx)^2e^sinx-e^x)/2. 这样的话，分子是0，所以结果还是0。
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lim(x->0) (e^sinx-e^x)/(xsinx)
=lim(x->0) (e^sinx-e^x)/x^2
=lim(x->0) { e^[x -(1/6)x^3+o(x^3)] -e^x }/x^2
=lim(x->0) e^x .{ e^[-(1/6)x^3+o(x^3)] - 1 }/x^2
=lim(x->0) { e^[-(1/6)x^3+o(x^3)] - 1 }/x^2
=lim(x->0) { -(1/6)x^3+o(x^3) }/x^2
=0
=lim(x->0) (e^sinx-e^x)/x^2
=lim(x->0) { e^[x -(1/6)x^3+o(x^3)] -e^x }/x^2
=lim(x->0) e^x .{ e^[-(1/6)x^3+o(x^3)] - 1 }/x^2
=lim(x->0) { e^[-(1/6)x^3+o(x^3)] - 1 }/x^2
=lim(x->0) { -(1/6)x^3+o(x^3) }/x^2
=0
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=lim(x→0){[e^(x-x^3/6)-e^x]/x^2}
=lim(x→0){-e^x[1-e^(-x^3/6)]/x^2}
=lim(x→0){-[1-(1-x^3/6)]/x^2}
=lim(x→0){-(x^3/6)/x^2}
=lim(x→0){-x/6}=0
=lim(x→0){-e^x[1-e^(-x^3/6)]/x^2}
=lim(x→0){-[1-(1-x^3/6)]/x^2}
=lim(x→0){-(x^3/6)/x^2}
=lim(x→0){-x/6}=0
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