Question

高数极限证明问题

证明lim(x→0)cosx=1时，
得到lim(x→0)(1-cosx)=0，
为什么lim(x→0)cosx=1？
如果要用
lim(x→0)(1-cosx)=lim(x→0)1-lim(x→0)cosx
那么前提应该是
lim(x→0)1与lim(x→0)cosx极限均存在，
但是这里不就是在证
lim(x→0)cosx存在且等于1吗？

Answer 1

证题的步骤基本为：
任意给定ε>0，要使|f(x)-A|<ε，（通过解这个不等式，使不等式变为δ1(ε）<x-x0<δ2(ε）为了方便，可让ε值适当减少），取不等式两端的绝对值较小者为δ(ε），于是
对于任意给定的ε>0,都找到δ>0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε . 即当x趋近于x0时，函数f(x）有极限A
例如证明f（x）=lnx在x趋于e时，有极限1
证明：任意给定ε>0，要使|lnx-1|<ε，只须-ε＜lnx-1＜ε,1-ε＜lnx＜1+ε,e＾(1-ε)＜x＜e＾(1+ε), ∴e＾(1-ε)-e＜x-e＜e＾(1+ε)-e,取δ(ε）=min（e-e＾(1-ε)，e＾(1+ε)-e）min后面两数是不等式两端的值，但左边的是不等式左端的负值要取绝对值，这两正数取较小的为δ，于是对于任意给定的ε>0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε . 即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1
说明一下：1）取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。 2）用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求

Answer 2

用的是定理，如果x→0，f（x）极限为A，那么f（x）=A+α，α为x的无穷小。

也就是说x→0，1-cosx=0+α，推得cosx=1+α，也就是x→0，cosx极限为1。

追问

有一点疑惑：1-cosx=0+α，只能得cosx=1-α，必须要有：若x→0，f(x)极限为A，那么f(x)=A-α，α为无穷小，才有lim(x→0)cosx=1，但书上没有这个定理，不过证明倒很容易。

Answer 3

你看错行了吧 图片里从“事实上”后面的三行是证明的 最后两行是下一步了

追问

就是从倒数第四行到倒数第三行这一步没懂。

追答

是不是书上没有证明cosx的极限存在导致你不理解了，，其实cosx这个函数很简单 是个连续函数 不用再证明了

而且这个书上已经用夹逼准则证出来是1了 当然就存在了

追问

书到这里并没有讲到连续性，自然不能用；
另外这里很明确就是在证明lim(x→0)cosx=1，
我不是不会证明，很容易通过ε-δ证明，我只是不理解这里的推导过程而已；
你说夹逼出来是1，可这里夹出来的是1-cosx的极限存在且为0，并没有对cosx进行夹逼。

其实很简单：

∵lim(x→0)(1-cosx)=0，且lim(x→0)1=1，

∴lim(x→0)cosx=lim(x→0)[1-(1-cosx)]=lim(x→0)1-lim(x→0)(1-cosx)=1，证毕。

追答

嗯 你讲的对。