Question

已知:a,b,c,d,e≥-1 a+b+c+d+e=5 S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a) 求S最大值A和最小值B

Answer 1

令A=a+b,B=b+c,C=c+d,D=d+e,E=e+a
则S=ABCDE，A,B,C,D,E≥-2(每个大写字母取等号当且仅当对应的两个小写字母等于-1),
A+B+C+D+E=10.
S取最大值时大写字母中有偶数个负数，
1.四个负数，不妨设A,B,C,D
8，矛盾，不存在四个负数的情况.
2.两个负数，分两种情况，
相邻两大写字母例如A,B取-2时
C+D+E=(-1＋d)+(d＋e)+(e＋-1)=14
即D=d+e=8,而CE≤(C+E)²/4=(d+e-2)²/4=9当且仅当C=E=3时取等号，此时S=2²×8×9=288.
间隔大写字母例如A,C取-2时
a,b,c,d=-1,B=b+c<0与假设矛盾，舍去.
3.没有负数时由算术几何平均不等式得到A,B,C,D,E=2时S取最大值32.
上述比较知S最大值为288.

下面来算最小值，大写字母中有奇数个负数，显然不可能是5个.
1.三个负数，只有两个相邻时例如A,B,E取-2时C,D也等于-2，不合假设，舍.
三个负数必相邻，不妨取A,B,C为-2，则D+E=16,
DE≤(D+E)²/4=64当且仅当D=E=8时取等号.
此时S=-2³×64=-512.
2.一个负数例如A取-2时，
B+C+D+E=(-1+c)+(c+d)+(d+e)+(e+-1)=12,
即c+d+e=7.我去(ノ=Д=)ノ┻━┻
即求BCDE的最大值.
由对称性，BCDE取最大值时c=e.
则2c+d=7,BCDE=(BC)²即求BC的最大值.
BC=(-1+c)(c+d)
=(-1+c)(7-c)≤[(-1＋c)＋(7-c)]²/4=9当且仅当-1+c=7-c即c=4,d=-1时取等号.
此时S=-2×9²=-162.
上述比较得到S最小值为-512.

才疏学浅，没有想到简便的方法。
我是谁？我从哪里来？要到哪里去？我刚才在干什么？@_@

追答

四个负数那种情况写漏了，A,B,C,D取-2，E取18时
S=2^4×18=288是这种情况下可能存在的最大值.
但这种情况下得到a,b,c,d,e=-1就不是四个负数了，所以此情况S必小于288.

Answer 2

(a十b十C)(C十d十e’