Question

在1，2，3，…30，这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中任意两个不同的数的和都不是9

Answer 1

最多能取出18个数.
将1、2、3……29、30按除以9的余数做如下分组：
{1,10,19,28}，{2,11,20,29}，{3,12,21,30}，{4,13,22}，{5,14,23}，{6,15,24}，{7,16,25}，{8,17,26}，{9,18,27}
特点：第1组和第8组中两数之和是9的倍数，第2组和第7组中两数之和是9的倍数，
第3组和第6组中两数之和是9的倍数，第4组和第5组中两数之和是9的倍数。
考虑极端情况：将前四组数和第9组数全部取完，共18个，这18个数中任意两个不同的数的和都不是9的倍数。
若再多到一个，则这一个数必然与前四组中某一个数的和是9的倍数。

Answer 2

按照除以9的余数来构造抽屉：
（1）余0：9、18、27；（2）余1：1、10、19、28；（3）余2：2、11、20、29；
（4）余3：3、12、21、30；（5）余4：4、13、22；（6）余5：5、14、23；（7）余6：6、15、24；（8）余7：7、16、25；（9）余8：8、17、26；
要求取出的这些数中任意两个不同的数的和都不是9的倍数，那么组（1）只能取1个数，组（2）、组（9）只能取一组，组（3）、组（8）只能取一组，组（4）、组（7）只能取一组，组（5）、组（6）只能取一组，所以最多能取：1+4+4+4+3=16（个）；
答：最多能取出16个数，使取出的这些数中任意两个不同的数的和都不是9的倍数；
故答案为：16．