Question

初等函数在其定义域内一定可导，对么？

Answer 1

初等函数在定义域内一定连续,但不一定可导!举例如下:y=|x|就是y=sqrt(x^2),它是基本初等函数y=sqrt(u)和u=x^2的复合函数,是初等函数。
但y=|x|在x=0点处的左导数为-1,右导数为1,因此该函数在x=0处不可导!
另举反例:y=x^(1/3)(即x的立方根)是基本初等函数,但在x=0处不可导!

Answer 2

我错了我悔过

数学家经过一个一个证明 分别把每个初等函数导数算法都列了出来
从而证明了他们在定义域内一定可导

elementary function

最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

① 常数函数。对定义域中的一切x对应的函 数值都取某个固定常数 的函数。②幂函数。形如y＝xa的函数，式中a为不等于零的常数 。③指数函数。形如y＝ax的函数，式中a为不等于1的正常数。④对 数函数。指 数函数的反函数，记作y＝log a x，式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成 立关系式，loga ax＝x。⑤ 三角函数 。即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tgx，余切函数y＝ctgx ，正割函数y＝secx，余割 函数y＝cscx（见 三角学）。⑥反三 角函数。三角函数 的反函数 ——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反 余 弦函数 y＝arc cosx （－1≤x≤1，0≤y≤π） ，反 正 切 函数 y=arc tgx ， 反余切函数 y ＝ arc ctgx（－∞ ＜x＜＋∞ ，θ＜y＜π ） 等 。 以上这些函数常统称为基本初等函数。

一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往 还有其他表示形式，例如 ，三角函数 y＝sinx 可以用无穷级数表为 初等函数可以按照解析表达式分类为： 初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。

Answer 3

楼上对初等函数阐述得很详细,可惜美中不足的是对函数连续与可导的关系没弄清楚,可导函数一定连续,但连续函数却不一定可导.
举个简单的例子:y=√(x^2)=|x|,显然y=|x|是初等函数,并且y=|x|在定义域内连续,但y=|x|在x=0处却不可导.
因此初等函数在其定义域内不一定可导