已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2)在椭圆上,
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已知椭圆c;x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点为f(1,0),且点(-1,√2/2)在椭圆上(2)已知直线l过点f,且与椭圆交于a.b两点,试问x轴上是否存在定点q,使得向量qa•qb=-7/16恒成立。若存在求出q点坐标
解:c=1;将点(-1,,√2/2)代入椭圆方程得:1/a²+1/(2b²)=1.........(1);a²-b²=1............(2)
由(1)得2b²+a²=2a²b²,将a²=b²+1代入得2b²+b²+1=2(b²+1)b²,2b⁴-b²-1=(2b²+1)(b²-1)=0,
故得b²=1,a²=2,于是得椭圆方程为x²/2+y²=1.即x²+2y²-2=0.
设过右焦点f(1,0)的直线方程为y=k(x-1),代入椭圆方程得x²+2k²(x-1)²-2=0,
化简得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0;设a(x₁,y₁),b(x₂,y₂);依维达定理,可知:
x₁+x₂=4k²/(1+2k²);x₁x₂=2(k²-1)/(1+2k²);
y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]=k²[2(k²-1)/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1]=-k²/(1+2k²);
设q(m,0);那么qa=(x₁-m,y₁);qb=(x₂-m,y₂);
于是qa•qb=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂
=2(k²-1)/(1+2k²)-4mk²/(1+2k²)+m²-k²/(1+2k²)=[(2m²-4m+1)k²+m²-2]/(1+2k²)..........(3)
令m²-2=-7/16..........(4),得m²=2-7/16=25/16,故得m=5/4;
此时2m²-4m+1=50/16-5+1=50/16-4=-14/16............(5);
将(4)和(5)代入(3)式得[(-14/16)k²-7/16]/(1+2k²)=-(7/16)(2k²+1)/(1+2k²)≡-7/16。
即x轴上存在一定点q(5/4,0)使得qa•qb=-7/16【即此时qa•qb的值与直线y=k(x-1)的斜率无关】.
解:c=1;将点(-1,,√2/2)代入椭圆方程得:1/a²+1/(2b²)=1.........(1);a²-b²=1............(2)
由(1)得2b²+a²=2a²b²,将a²=b²+1代入得2b²+b²+1=2(b²+1)b²,2b⁴-b²-1=(2b²+1)(b²-1)=0,
故得b²=1,a²=2,于是得椭圆方程为x²/2+y²=1.即x²+2y²-2=0.
设过右焦点f(1,0)的直线方程为y=k(x-1),代入椭圆方程得x²+2k²(x-1)²-2=0,
化简得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0;设a(x₁,y₁),b(x₂,y₂);依维达定理,可知:
x₁+x₂=4k²/(1+2k²);x₁x₂=2(k²-1)/(1+2k²);
y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]=k²[2(k²-1)/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1]=-k²/(1+2k²);
设q(m,0);那么qa=(x₁-m,y₁);qb=(x₂-m,y₂);
于是qa•qb=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂
=2(k²-1)/(1+2k²)-4mk²/(1+2k²)+m²-k²/(1+2k²)=[(2m²-4m+1)k²+m²-2]/(1+2k²)..........(3)
令m²-2=-7/16..........(4),得m²=2-7/16=25/16,故得m=5/4;
此时2m²-4m+1=50/16-5+1=50/16-4=-14/16............(5);
将(4)和(5)代入(3)式得[(-14/16)k²-7/16]/(1+2k²)=-(7/16)(2k²+1)/(1+2k²)≡-7/16。
即x轴上存在一定点q(5/4,0)使得qa•qb=-7/16【即此时qa•qb的值与直线y=k(x-1)的斜率无关】.
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解:由题意知a^2-b^2=1
,将点(-1,√2/2)代入椭圆方程得1/a^2+1/2b^2=1
解得,椭圆方程为
x^2/2+y^2=1
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则QA=(x1-5/4,y1),QB=(x2-5/4,y2)
(1)若直线l斜率为零,点A,B分别为
(-√2,0)(√2,0)
此时向量之积为-7/16
(2)若直线斜率不为0,则设直线方程为x=ky+1
与椭圆方程联立,得,(k^2+2)y^2+2ky-1=0
则有y1+y2=-2k/(k^2+2)
y1·y2=-1/(k^2+2)
则x1+x2=k(y1+y2)+2
x1·x2=k^2y1·y2+k(y1+y2)+1
则有,QA·QB=(k^2+1)y1·y2-k/4(y1+y2)+1/16
=-(k^2+1)/(k^2+2)+k/4·2k/(k^2+2)+1/16
=-7/16
综上所述,两向量之积为定值,-7/16
,将点(-1,√2/2)代入椭圆方程得1/a^2+1/2b^2=1
解得,椭圆方程为
x^2/2+y^2=1
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则QA=(x1-5/4,y1),QB=(x2-5/4,y2)
(1)若直线l斜率为零,点A,B分别为
(-√2,0)(√2,0)
此时向量之积为-7/16
(2)若直线斜率不为0,则设直线方程为x=ky+1
与椭圆方程联立,得,(k^2+2)y^2+2ky-1=0
则有y1+y2=-2k/(k^2+2)
y1·y2=-1/(k^2+2)
则x1+x2=k(y1+y2)+2
x1·x2=k^2y1·y2+k(y1+y2)+1
则有,QA·QB=(k^2+1)y1·y2-k/4(y1+y2)+1/16
=-(k^2+1)/(k^2+2)+k/4·2k/(k^2+2)+1/16
=-7/16
综上所述,两向量之积为定值,-7/16
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