Question

在(1+x+x²)(1-x)^10的展开式中含x³的系数是

Answer 1

解析：
(1-x)^10的二项展开式的通项为：
t(r+1)=c(10,r)*(-x)^r
而题目中所求的是（1+x+x²）(1-x)^10的展开式中含x^4
项的系数
那么(1-x)^10的二项展开式中所需考察的项共有3项，分别是：
t(5)=c(10,4)*x^4，t(4)=c(10,3)*(-x)^3，t(3)=c(10,2)*x²
易知将上述3项分别与1+x+x²的各项对应相乘，可以得到含x^4的项为：
1*c(10,4)*x^4+x*c(10,3)*(-x)^3+x²c(10,2)*x²
=[c(10,4)-c(10,3)+c(10,2)]*x^4
=135*x^4
所以（1+x+x^2）(1-x)^10的展开式中，x^4项的系数为135