Question

已知函数f(x)对任意的x.y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-2/3

Answer 1

至于第一题，设y=-x就可以得到
f(x)+f(-x)=f(0)
令x=y=0得到f(0)=0
可以得到结论。
第二题，假设任意x1>x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
因为x1-x2>0
所以f(x1-x2)<0
f(x1)-f(x2)<0
所以证得它是减函数。

Answer 2

1、
已知f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0
令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)
2、
设存在x1，x2∈R且x2>x1
x2>x1，可设x2=x1+△x，其中△x>0
则f(x2)-f(x1)=f(x1+△x)-f(x1)=f(x1)+f(△x)-f(x1)=f(△x)
∵△x>0，∴f(△x)<0
即f(x2)-f(x1)<0，f(x1)>f(x2)
∴f(x)为R上的减函数
3、
f(x)在R上单调减
∴f(x)max=f(-3)=-f(3)
f(x)min=f(3)
又f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3f(1)=-2
∴f(x)max=2，f(x)min=-2