Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为l的直线与抛物线交...

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为l的直线与抛物线交于两点M，N，坐标原点为O，且△MON的面积为22． （1）求抛物线C的方程； （2）若椭圆E：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）过点F，直线l：y=x+t被椭圆E截得的弦长的最大值为83，试求a的值．

Answer 1

解：（1）由题意可得直线MN的方程为y=x-p2，M（x1，y1），N（x2，y2），F(p2，0)．
联立y=x-p2y2=2px，化为4x2-12px+p2=0，
∴x1+x2=3p，x1x2=p24，
∴|MN|=2[(x1+x2)2-4x1x2]=2(9p2-p2)=4p，
点O到直线MN的距离d=p22=p22．
∴△MON的面积S=12d•|MN|=12×p22×4p=22，解得p=2．
∴抛物线C的方程y2=4x．
（2）设直线l：y=x+t被椭圆E截得的弦为G（x3，y3），H（x4，y4）．
∵椭圆E：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）过点F（1，0），∴b=1，
因此椭圆的方程化为：y2a2+x2=1．
联立y2a2+x2=1y=x+t，化为（a2+1）x2+2tx+t2-a2=0，
△=4t2-4（a2+1）（t2-a2）＞0，化为a2+1＞t2．
∴x3+x4=-2ta2+1，x3x4=t2-a2a2+1．
∵直线l：y=x+t被椭圆E截得的弦长的最大值为83，
∴|GH|=2[(x3+x4)2-4x3x4]=2[4t2(a2+1)2-4(t2-a2)a2+1]=22aa2+1-t2a2+1≤22aa2+1a2+1=83．当且仅当t=0时取等号．
解得a=22．
∴a=22．