Question

A是3阶矩阵,E是3阶单位矩阵,若A,A-2E,3A+2E均不可逆,则|A+E|=?

Answer 1

由矩阵不可逆可以得到其行列式都等于0，可得如下：
|A| = 0 |A-2E| = 0 |3A-2E| = 0

接着对行列式进行变形，得到常见的特征多项式：
|A - 0E| = 0 |A-2E| = 0 |A-(-2/3)E| = 0
这样就可以得到矩阵A的三个特征值：0、2、-2/3
既A+E的特征值：1、3、1/3
所以|A+E| = 1 * 3 * 1/3 = 1

Answer 2

由已知, 0,2, -2/3 是 A 的特征值
所以 |A+E| = 1 * 3 * 1/3 = 1