Question

已知函数f(x)=log3[(mx2+8x+n)/(x2+1)]的定义域为R,值域为[0,2],求m,n的值

解：令t=(mx2+8x+n)/(x2+1) 则 1=<t=<9
（m-t)x2+8x+n-t=0 (1)
由于函数f(x)=log3[(mx2+8x+n)/(x2+1)]的定义域为R
所以(1)一定有实数解,从而
判别式:64-4(m-t)(n-t)>=0 ,即:t2-(m+n)t+mn-16<=0 (2)
它等价不等式t-1)(t-9)<=0 (3)
由(2)(3)可得 :m+n=10 ,mn=16
从而解的:m=n=5

我的疑问是 为什么由于函数f(x)=log3[(mx2+8x+n)/(x2+1)]的定义域为R
所以(1)一定有实数解？？？ 高手帮忙~！！！
为什么由于函数f(x)=log3[(mx2+8x+n)/(x2+1)]的定义域为R
所以(1)一定有实数解？？？ ，然后为什么判别式大于零，判别式大于零的意义不是图像与X轴有交点吗？

Answer 1

意思就是一定能找到某个x，使方程成立。因为你定的t=(mx2+8x+n)/(x2+1)，如果方程无解，则求不出t，而根据已知可定出t的范围是1到9，矛盾了，所以一定存在这样的x的。
顺便说一句，这个解法不知道是你自己想的，还是老师教的，思路很不清晰，比较混乱，下面提供一个解法，供你参考。
0=<log3[(mx^2+8x+n)/(x2+1)]<=2
1=<(mx^2+8x+n)/(x2+1)<=9
由于x^2+1恒大于0，不等式两边同乘以x^2+1，不等号方向不变。
x^2+1<=mx^2+8x+n (1)
mx^2+8x+n<=9x^2+9 (2)
由x属于R，函数恒有意义，因此mx^2+8x+n恒>0 可以推出m>0且
方程mx^2+8x+n=0方程判别式<0
64-4mn<0 mn>16
还可以推出，上面的两个不等式，无论x取何值，不等式恒成立。

先看(1)
(m-1)x^2+8x+n-1>=0,定义域为R，即不等式恒成立，则有m-1>0
64-4(m-1)(n-1)<=0

再看(2)
(9-m)x^2-8x+9-n>=0,定义域为R，即不等式恒成立，则有9-m>0
64-4(m-9)(n-9)<=0

1<m<9 1<n<9
(m-1)(n-1)>=16
(m-9)(n-9)>=16
mn>16
只要找到的m,n满足上面四个条件，都可以。

解得只有m=n=5时，满足条件。

Answer 2

logaN =b (a> 0 , a ≠ 1 且N> 0) 这是定义式

所以a^b=N 指数函数的值恒大于零 即 N>0

Answer 3

我QQ125207360
第一问:(析)用的是判别式法求定义域，（——变形——反解）
如求y=(x^2=2x-1)/3x^2+2的定义域，就要先变形，成x的方程，利用判别式大于等于0，使得x的方程有实根。（把y看成参数）所以(1)一定有实数解，就相当于说他的值域在[0，2]
第二问：（析）判别式大于零，才能保证真数[(mx2+8x+n)/(x2+1)]大于0，图像就可以取到（0，+无穷大）的所有实数，即不论x为何值时都有意义，定义域为R
有两点要明确：1定义域为R，即真数恒为正
2值域为R，真数中（二次复合函数判别式大于零），可正可负

Answer 4

额，你好像解错了额~~~！

Answer 5

......去看书