Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1

1)求f(x)的解析式 2)在区间[-1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=1
c=1
f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c
=2ax+a+b
比较系数得a=1
b=-1
所以f(x)=x^2-x+1
区间[-1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方
f(x)-(2x+m)>0
即x^2-3x+1-m>0在区间[-1，1]上恒成立
设g(x)=x^2-3x+1-m
对称轴是x=3/2
在区间[-1，1]上为减函数，g(x)的最小值为g(1)=-1-m>0
m<-1